Che lingua parla la Natura? [III]

Forse, una delle cose più difficili da accettare, nei discorsi che fino ad ora ho fatto sul linguaggio della natura, riguarda l'essenza della Matematica come "mondo a se stante", come un mondo che esiste indipendentemente dal fatto che la mente lo possa esplorare e dal fatto che abbia un riscontro nell'Universo. Sembra quasi impossibile pensare alla matematica in modo slegato dall'Universo o dalla Mente dell'uomo. Eppure alcuni fisici e matematici ritengono che sia così. Forse affascinati dalla bellezza che trovano in essa, la vedono talvolta come qualcosa di indipendente dalla mente. Non tutti la pensano allo stesso modo anche perché questa è una teoria filosofica e non scientifica (con questo non voglio dare giudizi di valore né sull'una né sull'altra). Certamente, una delle questioni da cui scaturisce questa credenza, riguarda il perché e il come mai l'universo sia descrivibile attraverso formule, equazioni etc...

Chissà, forse questo problema sarà risolto dalle neuroscienze del prossimo futuro! Personalmente credo che nei prossimi anni le "scienze della mente" ci aiuteranno a comprendere meglio il mondo che ci circonda: aiuteranno sì la medicina ma anche le scienze fisiche. Certo, perché sapendo quali sono i meccanismi, i processi e quindi avendo idea di quali siano i limiti o meno della nostra mente, potremo migliorare la nostra conoscenza verso l'esterno. Un po' come quando gli astronomi, circa 20 anni fa, correggevano le immagini distorte del Telescopio Spaziale Hubble, conoscendo la struttura dello strumento. Certo per la mente non sarà così facile... ma io ci spero!

Comunque, dopo questa breve parentesi torniamo a noi... Nel libro di Penrose¹, da cui prende spunto questo post, c'è una costruzione matematica che mi ha ricordato le prime lezioni di Analisi I, all'università. Penrose, partendo dalla teoria degli insiemi, mostra come da essa si possa costruire qualcosa di molto utile nella vita quotidiana, un qualcosa che usiamo continuamente...

Se avete un attimo di pazienza, cercheremo di fare assieme questo viaggio nella matematica, sperando che anche a voi lasci quella sensazione di meraviglia che si cela nell'astrazione e in quella sorta di "sovrannaturalità" della matematica.

Dal Nulla...
Per prima cosa partiamo dalla nozione di insieme. Ve lo ricordare cos'è un insieme? E' una delle prime cose che s'impara alle elementari ed è una delle basi della Matematica. È passato troppo tempo! È vero, avete ragione! Allora ecco qua...

Un insieme non è altro che una collezione di oggetti. Tali oggetti sono chiamati elementi e sono indicati tra parentesi graffe, {}. Esempi di insiemi sono {pera,mela,banana,kiwi}, oppure {A,N,W,P} o ancora {£,$,€}. Gli insiemi, in Matematica, godono di alcune proprietà, abbastanza semplici:

• Un elemento o appartiene o non appartiene ad un insieme. Sembrerà banale ma in matematica non lo è perché ci sono insiemi (detti sfuocati o "fuzzy set") in cui gli elementi hanno un grado di appartenenza ad un insieme piuttosto che ad un altro. Nel nostro caso non è così. Un elemento o appartiene totalmente ad un insieme oppure non è di quell'insieme.
• Un elemento può comparire una ed una sola volta in un insieme. Ovvero in un insieme non ci sono due elementi identici. Un insieme non ha doppioni! Non è un insieme una collezione fatta così: {a,b,a,c,d,e,b}. 
• Gli elementi di un insieme non hanno un ordine al suo interno. Quindi possiamo dire, in parole povere, che due insiemi sono identici se hanno gli stessi elementi anche se disposti diversamente: {a,b,c,d} è identico a {a,d,b,c}. Gli insiemi non guardano all'ordine! :-)
• Gli elementi di un insieme lo determinano univocamente. Già la definizione iniziale ci avvertiva di questa proprietà. Detto in altre parole, sono gli elementi stessi che generano l'insieme. Questo vuol dire che quando si parla di insieme non dobbiamo pensarlo come a un contenitore ma come il contenuto.
  

Tra tutti i vari insiemi a cui possiamo pensare ce n'è uno particolarmente interessante: l'insieme vuoto, che non è altro che l'insieme che non contiene alcun elemento. L'insieme vuoto viene indicato col simbolo = { }. Cos'ha di così interessante l'insieme vuoto se non contiene nulla? E' vero, forse in se l'insieme vuoto può apparire poco importante ma anche dal vuoto può nascere qualcosa. Non è magia anche se potrebbe sembrare tale. Una volta definito l'insieme vuoto possiamo definire un insieme che lo contiene {}. Nulla di strano, un insieme può avere come elemento un altro insieme! Questo insieme, che contiene l'insieme vuoto, però non è vuoto perché contiene l'elemento²: .

A questo punto possiamo definire un insieme che contiene e {} che scriveremo come { , {}}. Continuando così, creeremo un insieme che contiene , {} e { , {}} e via in questo modo ne potremo creare quanti ne vogliamo! Beh, che c'è di magico in questo procedimento? Se avete un attimo di pazienza capirete tutto!

Qualcosa di conosciuto...
Una volta creata la nostra collezione di oggetti possiamo iniziare a dargli una sorta di nome! Come possiamo chiamare l'insieme vuoto? Io direi che a possiamo dare il nome 0 (zero)!  Siete d'accordo? È molto intuitivo! No? Viene da se che a {}, ovvero all'insieme che contiene l'insieme vuoto, possiamo dare il nome 1. E così a { , {}} il 2 e a { , {} , { , {}} } il 3...  fino all'infinito!!

Cosa abbiamo fatto? Un qualcosa di veramente affascinante! Non credete? Con questo procedimento, in pratica abbiamo costruito i cosiddetti "numeri ordinali"³ partendo dal nulla, o meglio, dall'insieme vuoto! Siamo partiti da concetti astratti, ed ecco qua qualcosa di molto utile nella nostra quotidianità: i numeri!

Cosa possiamo imparare da questo? Che in Matematica si può partire da nozioni astratte per creare altre entità matematiche altrettanto astratte in modo indipendente da com'è fatto l'Universo. Comunque, almeno secondo la mia opinione, è pur sempre la nostra mente che costruisce queste entità con procedimenti puramente mentali.

Note

• ¹ Il libro di Penrose a cui mi riferisco è "La strada che porta alla realtà". La derivazione dei numeri ordinali dagli insiemi è presentata a pagina 64.
  
• ² Non è chiaro come faccia un insieme a contenere l'insieme vuoto ed avere un elemento? Allora proviamo ad usare una metafora: immaginiamo che gli insiemi siano delle scatole. Lo so che ho detto all'inizio che non dobbiamo pensare gli insiemi come a dei contenitori, però questa metafora (che deve essere usato solo per concretizzare il concetto non deve essere usato per tratte altre conclusioni) ci torna utile.  Allora... diremo che una scatola è vuota se non ha nulla al suo interno. Ora, se mettiamo questa scatola vuota in una scatola più grande, la seconda scatola non sarà più vuota. Giusto? A questo punto, mettiamo questa scatola che contiene una scatola vuota, in una scatola più grande ed assieme ad essa ci aggiungiamo una scatola vuota; avremo ottenuto una scatola che contiene sia una scatola vuota che una scatola con dentro una scatola vuota! Adesso è chiaro? Spero di sì. Bene, se è davvero tutto pi chiaro... dimenticate di associare gli insiemi a scatole :).
• ³ I numeri ordinali sono entità che permetto di dare una relazione di ordine (se associati biunivocamente con altre entità) al contenuto di un insieme.
  

Fonti e Approfondimenti

• "La strada che porta alla realtà. Le leggi fondamentali dell'universo" di R. Penrose edito da BUR.
• Wikipedia: insieme vuoto.