Cos'è la magnitudine? [I]

"Per me si va ne la città dolente
per me si va ne l'etterno dolore,
per me si va tra la perduta gente."
L'Inferno, Dante

Volevo cominciare questo post con una citazione, tanto per alleggerire l'argomento, ma ho come l'impressione di aver già dato l'idea di quello che ci aspetta: un giro nell'inferno dantesco. Non abbiate paura, è solo questione di pazienza e un po' alla volta riusciremo a districarci attraverso questa selva oscura senza per forza finire tra le fiamme.

Allora, si parte!

"L'astronomo greco, Ipparco..." Ok! Ho capito! Sto partendo da molto lontano! Troppo lontano... Però mi piaceva l'inizio di uno dei libri di astronomia che mi è capitato di studiare quando preparavo l'esame per il dottorato. Per farla breve, comunque c'è da dire che sono proprio gli antichi Greci i "colpevoli" involontari del gran casino delle magnitudini. Eh sì! Perché hanno classificato le stelle che vedevano ad occhio nudo usando una scala in cui il valore 1 corrispondeva alla stella più brillante mentre il 6 era la stella più debole.
Cosa ha comportato questa scelta? Che più brillante è la stella, più piccolo sarà il valore della magnitudine.
Una scala inversa? Nulla di sbagliato... è solo che, a volte, crea problemi di orientamento, anche agli astronomi.

Col passare del tempo gli astronomi hanno utilizzato strumenti via via sempre più perfezionati e con capacità di osservazione migliori di quelle dell'occhio umano. Hanno quindi dovuto introdurre vari tipi di magnitudine: apparente, assoluta, bolometrica, in banda V, B, I (una per ciascun filtro). Insomma, un bel casino se uno non ci lavora quotidianamente.

Ma... perché è importante parlare di magnitudine? Perché la magnitudine ci dice quanta luce arriva a noi da un corpo celeste.

Luce, luce, luce e ancora luce!

Gli astronomi non possono fare esperimenti direttamente con stelle e galassie: non possono spaccare le stelle come invece i fisici fanno con gli atomi; nemmeno possono bruciare o mescolare le galassie come fanno i chimici con le loro sostanze.
Gli astronomi possono solo osservano.
Cosa vuol dire osservare? Vuol dire che raccolgono la luce (o meglio, la radiazione elettromagnetica di cui la luce è la parte visibile all'occhio umano) e la misurano.
Può sembrare poco, ma non lo è!
Dalla luce, infatti, si possono capire molte informazioni degli oggetti del cielo!

Quindi, come dicevamo poc'anzi... la magnitudine è un'unità di misura della quantità di luce che riceviamo da un corpo celeste.

Per capire a fondo il significato della magnitudine è bene partire da alcuni concetti di fisica molto semplici. Nulla di complicato. Davvero!

Iniziamo con un concetto di base: il flusso.
Il flusso è la quantità di energia (ovvero i fotoni, nel nostro caso) che "fluisce" attraverso una superficie, con area pari a un centimetro quadrato, in un secondo di tempo.
Per misurare il flusso basta (si fa per dire :) avere un dispositivo, con una superficie di un centimetro quadrato, capace di misurare quanta energia lo colpisce ogni secondo. Tenete conto che nella pratica la misura del flusso è più complessa e difficile.

Questioni di occhio

Nella vita quotidiana facciamo continue esperienze di "misure qualitative" di flusso. Lo strumento che ci permette di far ciò è il nostro occhio ed è proprio dalla comprensione del funzionamento di quest'organo che si può capire il legame tra magnitudine e flusso.
Senza entrare nel dettaglio, la cosa che c'interessa sapere è che il nostro sistema visivo reagisce allo stimolo luminoso secondo una funzione logaritmica^1,2.

Facciamo un esempio:
Prendiamo due lampadine. Una la chiamiamo lampadina A e l'altra lampadina B.
Supponiamo che la lampadina A abbia una luminosità doppia della B.
Se poniamo le due lampadine alla stessa distanza da noi, il flusso che riceveremo dalla lampadina A sarà il doppio della B. Ci siamo?
Allora ci chiediamo: il nostro occhio vedrà la lampadina A due volte più brillante della B? La risposta è no.
Se supponiamo che il nostro sistema visivo reagisca alla luce seguendo esattamente¹ una funzione logaritmica, questo significa che dovremmo vedere la lampadina A solo il 30% più brillante della B e non il doppio!

Quindi: poiché il nostro occhio "vede" secondo una scala logaritmica e siccome i greci avevano classificato la brillantezza delle stelle sulla base di come le vedevano ad occhio, potete già immaginare che il legame tra flusso e magnitudine passi attraverso la funzione logaritmica.

Però, per arrivare alla definizione precisa di magnitudine, come sistema di misura, necessitiamo di: una scala di grandezze e di un punto zero.

Un po' di matematica

La definizione di scala di grandezza della magnitudine si fonda sull'assunzione che una stella di magnitudine 1 sia 100 volte più brillante di una stella di magnitudine 6. È una definizione, la dobbiamo prendere così com'è!

Facendo due conti (che evito per non favi scappare subito :) si vede che una differenza di una magnitudine tra due stelle, corrisponde al fatto che una stella è 2.512 volte più brillante dell'altra.

Esempio: una stella di magnitudine 1 mag è 2.512 volte più brillante di una stella di magnitudine 2 mag. Una stella di magnitudine 3 mag è 2.512 volte più brillante di una stella di magnitudine 4 mag.

Se invece la differenza è di 2 mag, la differenza di brillantezza sarà 6.310 (2.512 x 2.512) volte! Il gioco può continuare per differenze di 3 mag (15.09), 4 mag (40.00) fino ad arrivare a 5 mag di differenza dove, per definizione la differenza di brillantezza è 100. Ovviamente possiamo continuare con questo gioco per differenze maggiori o per differenze non intere.

Ora, scriviamo la definizione di magnitudine in termini matematici?
Spero non siate impauriti da una formula semplice semplice.
Tutto il discorso fatto sopra si traduce nella seguente relazione:

Chi si ricorda un po' di matematica, noterà subito che in questa equazione c'è una incognita, della quale possiamo trovare facilmente il valore. Infatti, sapendo che Log(100) = 2 e rimaneggiando un pò la formula possiamo determinare il valore dalla costante: cost = -2.5.

Ora, in fisica, le scale di grandezza si definiscono tramite differenze tra valori. Facciamo la stessa cosa per la definizione di magnitudine e abbiamo che:
scaravoltiamola un pochino e otteniamo la definizione di magnitudine apparente di una stella: Cosa ci dice questa formula? Nulla!! No, non fate così...

Questa semplice formuletta ci dice una cosa importante: che la magnitudine di una stella (m₁) è determinabile solo se si conosce il suo flusso (F₁)... e questo è ovvio! L'altra cosa importante è soprattutto che la si può determinare solo se si conosce la magnitudine (m₂), quindi il flusso (F₂), di una stella di riferimento³.
Questo significa che dobbiamo decidere quale stella sarà nostra stella di riferimento.
Per gli astronomi è Vega, alla quale è stato associato un valore della magnitudine apparente uguale a zero a tutte le lunghezze d'onda.

Credo di avervi tormentato abbastanza sulle magnitudini. Quindi... alla prossima!

Note

• ¹ Nella realtà la risposta del nostro occhio non è esattamente logaritmica, la sua capacità di percezione migliora con l'aumentare del flusso che riceviamo e, inoltre, la percezione dell'occhio dipende anche dal contrasto della sorgente con l'ambiente circostante.
• ² La funzione logaritmica (che in matematica si scrive Log) ha la proprietà di trasformare rapporti in differenze (), moltiplicazioni in somme (), potenze in prodotti, radici in divisioni.
• ³ In fisica, il punto di riferimento di un sistema di misura è noto come "punto zero". Per quanto spesso non ce ne rendiamo conto, in realtà usiamo in continuazione questi punti zero. Pensate alla temperatura: gli europei la indicano in gradi Celsius (dove il punto zero è la temperatura a cui l'acqua ghiaccia, il secondo punto ...), gli americani in gradi Fahreneit. La differenza sta nel diverso punto zero e nella scala utilizzata. La decisione sul punto zero è arbitraria.

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Fonti e approfondimenti

• da wikipedia la definizione di "Magnitudine apparente". Per cominciare a capire cos'è la magnitudine è un buon inizio.
• Introduction to Modern Astrophisics - Link ad un libro introduttivo (in inglese) all'astronomia. 

Crediti

• L'immagine dell'ammasso (M4) è stata scaricata dal sito delle news di HST e modificata per per essere adattata alle dimensioni del post.