La sfera celeste e le coordinate celesti. [I]
Come abbiamo visto nel post sulle costellazioni, i nostri occhi non riescono a percepire la distanza delle stelle ma ci permettono solo di distinguere la separazione angolare. Questo fa si che, quando volgiamo lo sguardo al cielo in una notte limpida e stellata, le stelle ci appaiono come se fossero disposte sulla superficie di una sfera di cui noi siamo il centro1. Questa sfera è detta "Sfera Celeste".
Bè, vi starete chiedendo, quindi la sfera celeste è solo un frutto della nostra percezione?
Ebbene sì, è un oggetto astratto. Una sfera il suo raggio è arbitrario. Ovvero può essere grande quanto volete: a volte, per comodità, si dice che abbia raggio infinito. In questo modo tutti gli oggetti dell'Universo possano essere proiettati su di essa come se fosse uno schermo retrostante a tutto.
Allora a cosa serve nella pratica la sfera celeste?
Oggi la sfera celeste è divenuta un comodo strumento che gli astronomi utilizzano per dare le posizioni degli astri in cielo, proprio perché su di essa possiamo proiettare tutti gli astri.
Bene. A questo punto potremmo fermarci qui, ma non lo faremo. Andremo un pò avanti e parleremo di sistemi di riferimento: ovvero quei sistemi che permettono di determinare univocamente la posizione di un corpo. Il percorso è un pochino accidentato: serve un pò d'immaginazione e buona volontà. Però, se vorrete seguirmi nell'itinerario, arriveremo a fare degli esempi pratici e vedrete cosa sono questi sistemi di riferimento ed il loro utilizzo... anche sulla Sfera Celeste. Ci siete? Bene! Allora per prima cosa ci chiediamo:
Cos'è un sistema di riferimento?
Un sistema di riferimento o di coordinate è un sistema che assegna ad ogni punto dello spazio uno o più valori2. Quanti numeri vengono assegnati dipende dalla dimensione dello spazio in esame.
Non si è capito nulla? Allora facciamola molto semplice. I sistemi di riferimento sono un pò come la griglia di quadrati delle scacchiere: permettono di posizionare le pedine e di muoverle correttamente. La scacchiera è una superficie. Quindi per determinare la posizione di una pedina servono due valori che sono appunto quelli che trovate ai bordi della griglia. Ora ci siamo? Spero proprio di sì.
Altra cosa da dire sui sistemi di riferimento è che se ne possono costruire tanti ed in diversi modi. In genere, però, si tende a utilizzare un sistema di riferimento comodo al tipo di studio che si vuole fare.
Nel nostro caso vogliamo arrivare a studiare gli oggetti che si trovano sulla superficie di una sfera. La superficie di una sfera è un oggetto che può essere studiato utilizzando le coordinate sferiche.
Le coordinate sferiche permettono di definire la posizione di un oggetto in uno spazio tridimensionale usando due angoli ed un raggio. Siccome la superficie di una sfera gode della proprietà che tutti i suoi punti si trovano alla stessa distanza dal centro della sfera (il raggio), nel nostro caso possiamo, come dire, dimenticarci del raggio ed usare solo i due angoli. Infatti cambiando il valore del raggio di una sfera non andiamo a modificare le posizioni determinate dai due angoli
Bello, no? Abbiamo semplificato il problema delle coordinate...
Comunque non abbiate paura. In questo post non ci soffermeremo a discutere di geometria sferica e di coordinate sferiche. Piuttosto vedremo solo alcuni concetti di base, utili a capire come definire un sistema di riferimento su una sfera. Visto che il raggio lo possiamo trascurare per capire la questione, allora partiamo da qualcosa di semplice...
L’arancia.
Prendete quattro belle arance (mi sembra di scrivere una ricetta!:) il più possibile simili tra di loro. Prese? Bene, allora per ora prendetene una sola e cercate d’individuare, ad occhio, dove si trova il suo centro, il cuore dell'arancia. Prendete un coltello e tagliate l’arancia passando per il punto che avete individuato. Fate la stessa cosa per la seconda arancia ma tagliandola lungo una direzione diversa dalla precedente. Vi sarete accorti che potete tagliare le arance passando per il centro in mille modi, anzi che dico, infiniti modi...
Poi cos'altro notate?
Siccome le due arance erano uguali, le quattro mezze arance risultanti saranno anche loro uguali: potete scambiarle le une con le altre e riotterrete ancora due arance simili a quelle di prima. Questo accade perché tagliando una sfera lungo uno dei piani che passano per il suo centro, otterrete due semisfere identiche.
Ora prendete una metà. La parte esterna della buccia forma un cerchio. In geometria questo viene chiamato grande cerchio. Il suo raggio è uguale a quello della sfera che è il più grande che possiamo ottenere tagliando la sfera stessa! Tutto bene fino a qui? Sì...
Allora prendiamo la terza arancia e tagliamola in modo che il coltello non passi per il centro del frutto. Cosa otteniamo? Otteniamo un pezzo di arancia grande ed uno più piccolo. Inoltre, notiamo che il raggio del cerchio formato dal taglio della superficie è più piccolo di quello ottenuto per le prime due arance.
Questo accade perché, se tagliamo una sfera lungo piani che non passano per il centro, otteniamo cerchi con raggi più piccoli del raggio della sfera. Questi cerchi sono detti piccoli cerchi e più tagliamo distanti dal centro più i piccoli cerchi avranno raggi minori.
Ora, torniamo alla prima arancia. Prendiamo due metà e sovrapponiamole. Prendiamo anche uno stuzzicadenti che infilzeremo in un’arancia cercando di posizionarlo perpendicolare al grande cerchio. I punti in cui lo stuzzicandoti incontra la superficie dell’arancia sono detti poli.
Fino a qui abbiamo dato alcune “definizioni” (non molto rigorose ma spero utili :) che, però, da sole non bastando a definire un sistema di riferimento. Quello che dobbiamo fare è definire un unico "grande cerchio" di riferimento e due poli.
Come facciamo a definire un grande cerchio ed i poli?
I sistemi di riferimento sono arbitrari, ovvero c'è qualcosa che deve essere deciso prima di costruirli... dobbiamo partire da qualcosa di fisso, che faccia appunto da riferimento.
Quindi, prendiamo la quarta arancia. Osservandola noteremo che ha due “piccioli” che potremmo definire come i poli. Ecco il nostro punto di partenza!! Attraverso i poli possiamo far passare uno stuzzicadenti che attraverserà il centro dell’arancia. Bene, a questo punto prendiamo il nostro coltello e tagliamo l’arancia in due in modo che il grande cerchio sia perpendicolare allo stuzzicadenti. Tenete uniti i due pezzi di arancia con lo stuzzicadenti...
Fatto? Ci manca solo di definire il punto zero del sistema di coordinate: ovvero dobbiamo decidere da dove iniziamo a contare. La scelta in questo caso è arbitraria. Possiamo decidere di prendere come punto zero un punto qualsiasi sul grande cerchio. Fatelo e magari segnatelo facendo una X col coltello.
Adesso dobbiamo incidere un nuovo solco sulla superficie dell’arancia in modo che formi un grande cerchio che passi per il punto X ed i due poli. Questo grande cerchio sarà perpendicolare al primo che abbiamo costruito. Abbiamo quindi costruito gli assi del sistema di riferimento.
Adesso ci possiamo chiedere: Come misuriamo la posizione dei punti sulla nostra arancia?
La cosa più comoda è quella di misurare gli angoli che separano il nostro punto sull’arancia dal punto X lungo i due grandi cerchi che abbiamo definito.
Ultimissima cosa...
Dobbiamo definire il senso in cui si misurano gli angoli: possiamo contare in senso orario o antiorario, oppure in entrambe i sensi fino ad arrivare al punto opposto allo zero lungo il grande cerchio (ovvero a 180°). Inoltre lungo uno dei due grandi cerchi misureremo gli angoli a 360° mentre per l’altro ci basterà misurare gli angoli 90° sopra e 90° sotto il primo grande cerchio.
Concludendo, spero di essere stato chiaro almeno sul fatto che la comodità di usare le coordinate sferiche è quella di poter usare solo due angoli per determinare la posizione dei punti su una superficie di una sfera.
Ed ora...
La Terra
Fino ad ora ho cercato di fare un ragionamento che abbia un riscontro "manuale", usando un’arancia. E’ chiaro che l’utilità di definire un sistema di riferimento su un’arancia è scarsa. Invece, apparirà più utile fare questo lavoro sulla Terra anche se non potremo tagliarla a fette e mangiarcela, se non con l’immaginazione. :)
Abbiamo visto che per definire un sistema di riferimento serve trovare un qualche riferimento (arbitrario) su cui iniziare a costruirlo.
Per la Terra si usa l’asse di rotazione come punto di partenza. Questo asse che incontra la superficie del nostro pianeta in due punti detti polo Nord e Sud. Abbiamo quindi definito i poli. Ora, proprio come abbiamo fatto per l'arancia, possiamo trovare facilmente il grande cerchio perpedicolare all’asse di rotazione: l’Equatore. A questo punto manca da definire il punto zero sull’equatore da cui iniziare a misurare gli angoli.
Storicamente per definirlo si usa il grande cerchio che passa per l’Osservatorio di Greenwich e per i due poli, detto Meridiano di Greenwich o Primo Meridiano. Il punto sull’equatore che incontra il Meridiano di Greenwich è il punto zero da cui parte il sistema di coordinate terrestre.
Eccoci quasi arrivati... per misurare la posizione di un punto sulla Terra basta dare due misure di angoli (longitudine e latitudine) che non sono altro che la distanza angolare lungo l’Equatore e lungo il Meridiano di Greenwich. Dal punto zero gli angoli si contano lungo l’equatore andando verso Est (positivi) e verso Ovest (negativi) fino ad arrivare al punto ad esso opposto, che si trova a 180°. Lungo il meridiano di Greenwich, invece, gli angoli si misurano andando verso Nord (positivi) e verso Sud (negativi) di 90°.
Adesso ci manca solo di estendere questo metodo al cielo... ma lo vedremo la prossima volta perché questo post sta diventando molto, troppo lungo! A presto
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Note
Bè, vi starete chiedendo, quindi la sfera celeste è solo un frutto della nostra percezione?
Ebbene sì, è un oggetto astratto. Una sfera il suo raggio è arbitrario. Ovvero può essere grande quanto volete: a volte, per comodità, si dice che abbia raggio infinito. In questo modo tutti gli oggetti dell'Universo possano essere proiettati su di essa come se fosse uno schermo retrostante a tutto.
Allora a cosa serve nella pratica la sfera celeste?
Oggi la sfera celeste è divenuta un comodo strumento che gli astronomi utilizzano per dare le posizioni degli astri in cielo, proprio perché su di essa possiamo proiettare tutti gli astri.
Bene. A questo punto potremmo fermarci qui, ma non lo faremo. Andremo un pò avanti e parleremo di sistemi di riferimento: ovvero quei sistemi che permettono di determinare univocamente la posizione di un corpo. Il percorso è un pochino accidentato: serve un pò d'immaginazione e buona volontà. Però, se vorrete seguirmi nell'itinerario, arriveremo a fare degli esempi pratici e vedrete cosa sono questi sistemi di riferimento ed il loro utilizzo... anche sulla Sfera Celeste. Ci siete? Bene! Allora per prima cosa ci chiediamo:
Cos'è un sistema di riferimento?
Un sistema di riferimento o di coordinate è un sistema che assegna ad ogni punto dello spazio uno o più valori2. Quanti numeri vengono assegnati dipende dalla dimensione dello spazio in esame.
Non si è capito nulla? Allora facciamola molto semplice. I sistemi di riferimento sono un pò come la griglia di quadrati delle scacchiere: permettono di posizionare le pedine e di muoverle correttamente. La scacchiera è una superficie. Quindi per determinare la posizione di una pedina servono due valori che sono appunto quelli che trovate ai bordi della griglia. Ora ci siamo? Spero proprio di sì.
Altra cosa da dire sui sistemi di riferimento è che se ne possono costruire tanti ed in diversi modi. In genere, però, si tende a utilizzare un sistema di riferimento comodo al tipo di studio che si vuole fare.Nel nostro caso vogliamo arrivare a studiare gli oggetti che si trovano sulla superficie di una sfera. La superficie di una sfera è un oggetto che può essere studiato utilizzando le coordinate sferiche.
Le coordinate sferiche permettono di definire la posizione di un oggetto in uno spazio tridimensionale usando due angoli ed un raggio. Siccome la superficie di una sfera gode della proprietà che tutti i suoi punti si trovano alla stessa distanza dal centro della sfera (il raggio), nel nostro caso possiamo, come dire, dimenticarci del raggio ed usare solo i due angoli. Infatti cambiando il valore del raggio di una sfera non andiamo a modificare le posizioni determinate dai due angoli
Bello, no? Abbiamo semplificato il problema delle coordinate...
Comunque non abbiate paura. In questo post non ci soffermeremo a discutere di geometria sferica e di coordinate sferiche. Piuttosto vedremo solo alcuni concetti di base, utili a capire come definire un sistema di riferimento su una sfera. Visto che il raggio lo possiamo trascurare per capire la questione, allora partiamo da qualcosa di semplice...
L’arancia.
Prendete quattro belle arance (mi sembra di scrivere una ricetta!:) il più possibile simili tra di loro. Prese? Bene, allora per ora prendetene una sola e cercate d’individuare, ad occhio, dove si trova il suo centro, il cuore dell'arancia. Prendete un coltello e tagliate l’arancia passando per il punto che avete individuato. Fate la stessa cosa per la seconda arancia ma tagliandola lungo una direzione diversa dalla precedente. Vi sarete accorti che potete tagliare le arance passando per il centro in mille modi, anzi che dico, infiniti modi...Poi cos'altro notate?
Siccome le due arance erano uguali, le quattro mezze arance risultanti saranno anche loro uguali: potete scambiarle le une con le altre e riotterrete ancora due arance simili a quelle di prima. Questo accade perché tagliando una sfera lungo uno dei piani che passano per il suo centro, otterrete due semisfere identiche.
Ora prendete una metà. La parte esterna della buccia forma un cerchio. In geometria questo viene chiamato grande cerchio. Il suo raggio è uguale a quello della sfera che è il più grande che possiamo ottenere tagliando la sfera stessa! Tutto bene fino a qui? Sì...
Allora prendiamo la terza arancia e tagliamola in modo che il coltello non passi per il centro del frutto. Cosa otteniamo? Otteniamo un pezzo di arancia grande ed uno più piccolo. Inoltre, notiamo che il raggio del cerchio formato dal taglio della superficie è più piccolo di quello ottenuto per le prime due arance.
Questo accade perché, se tagliamo una sfera lungo piani che non passano per il centro, otteniamo cerchi con raggi più piccoli del raggio della sfera. Questi cerchi sono detti piccoli cerchi e più tagliamo distanti dal centro più i piccoli cerchi avranno raggi minori.
Ora, torniamo alla prima arancia. Prendiamo due metà e sovrapponiamole. Prendiamo anche uno stuzzicadenti che infilzeremo in un’arancia cercando di posizionarlo perpendicolare al grande cerchio. I punti in cui lo stuzzicandoti incontra la superficie dell’arancia sono detti poli.
Fino a qui abbiamo dato alcune “definizioni” (non molto rigorose ma spero utili :) che, però, da sole non bastando a definire un sistema di riferimento. Quello che dobbiamo fare è definire un unico "grande cerchio" di riferimento e due poli.
Come facciamo a definire un grande cerchio ed i poli?
I sistemi di riferimento sono arbitrari, ovvero c'è qualcosa che deve essere deciso prima di costruirli... dobbiamo partire da qualcosa di fisso, che faccia appunto da riferimento.
Quindi, prendiamo la quarta arancia. Osservandola noteremo che ha due “piccioli” che potremmo definire come i poli. Ecco il nostro punto di partenza!! Attraverso i poli possiamo far passare uno stuzzicadenti che attraverserà il centro dell’arancia. Bene, a questo punto prendiamo il nostro coltello e tagliamo l’arancia in due in modo che il grande cerchio sia perpendicolare allo stuzzicadenti. Tenete uniti i due pezzi di arancia con lo stuzzicadenti...
Fatto? Ci manca solo di definire il punto zero del sistema di coordinate: ovvero dobbiamo decidere da dove iniziamo a contare. La scelta in questo caso è arbitraria. Possiamo decidere di prendere come punto zero un punto qualsiasi sul grande cerchio. Fatelo e magari segnatelo facendo una X col coltello.
Adesso dobbiamo incidere un nuovo solco sulla superficie dell’arancia in modo che formi un grande cerchio che passi per il punto X ed i due poli. Questo grande cerchio sarà perpendicolare al primo che abbiamo costruito. Abbiamo quindi costruito gli assi del sistema di riferimento.
Adesso ci possiamo chiedere: Come misuriamo la posizione dei punti sulla nostra arancia?
La cosa più comoda è quella di misurare gli angoli che separano il nostro punto sull’arancia dal punto X lungo i due grandi cerchi che abbiamo definito.
Ultimissima cosa...
Dobbiamo definire il senso in cui si misurano gli angoli: possiamo contare in senso orario o antiorario, oppure in entrambe i sensi fino ad arrivare al punto opposto allo zero lungo il grande cerchio (ovvero a 180°). Inoltre lungo uno dei due grandi cerchi misureremo gli angoli a 360° mentre per l’altro ci basterà misurare gli angoli 90° sopra e 90° sotto il primo grande cerchio.
Concludendo, spero di essere stato chiaro almeno sul fatto che la comodità di usare le coordinate sferiche è quella di poter usare solo due angoli per determinare la posizione dei punti su una superficie di una sfera.
Ed ora...
La TerraFino ad ora ho cercato di fare un ragionamento che abbia un riscontro "manuale", usando un’arancia. E’ chiaro che l’utilità di definire un sistema di riferimento su un’arancia è scarsa. Invece, apparirà più utile fare questo lavoro sulla Terra anche se non potremo tagliarla a fette e mangiarcela, se non con l’immaginazione. :)
Abbiamo visto che per definire un sistema di riferimento serve trovare un qualche riferimento (arbitrario) su cui iniziare a costruirlo.
Per la Terra si usa l’asse di rotazione come punto di partenza. Questo asse che incontra la superficie del nostro pianeta in due punti detti polo Nord e Sud. Abbiamo quindi definito i poli. Ora, proprio come abbiamo fatto per l'arancia, possiamo trovare facilmente il grande cerchio perpedicolare all’asse di rotazione: l’Equatore. A questo punto manca da definire il punto zero sull’equatore da cui iniziare a misurare gli angoli.
Storicamente per definirlo si usa il grande cerchio che passa per l’Osservatorio di Greenwich e per i due poli, detto Meridiano di Greenwich o Primo Meridiano. Il punto sull’equatore che incontra il Meridiano di Greenwich è il punto zero da cui parte il sistema di coordinate terrestre.
Eccoci quasi arrivati... per misurare la posizione di un punto sulla Terra basta dare due misure di angoli (longitudine e latitudine) che non sono altro che la distanza angolare lungo l’Equatore e lungo il Meridiano di Greenwich. Dal punto zero gli angoli si contano lungo l’equatore andando verso Est (positivi) e verso Ovest (negativi) fino ad arrivare al punto ad esso opposto, che si trova a 180°. Lungo il meridiano di Greenwich, invece, gli angoli si misurano andando verso Nord (positivi) e verso Sud (negativi) di 90°.
Adesso ci manca solo di estendere questo metodo al cielo... ma lo vedremo la prossima volta perché questo post sta diventando molto, troppo lungo! A presto
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Note
- 1 Questo può in parte spiegare il motivo per cui gli antichi credevano che la Terra fosse al centro dell'Universo.
- 2 Una definizione migliore è quella di dire che un sistema di coordinate è un sistema che permette di assegnare una n-upla di numeri o scalari ad ogni punto dello spazio n-dimensionale. Questo perché possiamo avere spazi ad una dimensione, oppure a due dimensioni (come la superficie di una sfera o un piano) ma anche a tre o più dimensioni.
- Textbook on Spherical Astronomy di W. M. Smart edito da Cambridge University Press.
- Fig 1: l'immagine delle coordinate sferiche è stata presa da Wikipedia
- Fig 2: l'immagine dell'arancia è stata presa da questo sito.
- Fig 3: l'immagine della terra vista da Meteosat2 è stata presa dal sito: ESA Multimedia
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