Cos'è la magnitudine apparente? [II]
Abbiamo visto, in un post precedente, come viene definita la magnitudine (apparente) di un oggetto in astronomia, ovvero abbiamo detto che dipende dal flusso della stella stessa e da quello di una stella di riferimento.
Nello stesso post abbiamo visto che il flusso è una quantità fisica osservabile legata alla luminosità e alla distanza del corpo celeste. Ma cosa comporta questa dipendenza dalla luminosità e dalla distanza in termini di magnitudine? Ovvero, come variano le magnitudini se cambiamo distanza e luminosità di una stella?
Due passi nella matematica
Per capire come variano le magnitudini cambiando questi parametri serve un pò di matematica. Non abbiate paura. La matematica è il linguaggio della natura e come ogni nuova lingua va studiata ed esercitata quotidianamente per capirne tutte le sfaccettature. Una volta assimilata vedrete che la comprensione di alcuni fenomeni del nostro mondo appariranno più vicini, proprio come conoscendo una lingua si possono capire i giochi di parole, i doppi sensi, l'ironia, i modi di dire... :)
Quindi, cominciamo prendendo in considerazione due stelle che chiamiamo, con molta fantasia, A e B :)
Rispolveriamo, adesso, la formula che mette in relazione il flusso alla luminosità di una stella. Quella che abbiamo descritto proprio all'inizio di questo post. Tutte quelle parole in matematica si scrivono così:
Ricordiamo anche la definizione di magnitudine di una stella (in questo caso prendiamo in considerazione la stella A) che come abbiamo già detto deve essere legata a quella di una stella di riferimento. Inoltre facciamo un piccolo passo in più e sostituito la relazione del flusso, appena scritta sopra, nella formula della magnitudine. In questo modo otteniamo:
A questo punto, per semplificare definiamo una nuova costante:
e sostituiamo il valore nella formula della magnitudine. E' un pò come quando decidiamo di dare un soprannome ad una persone. In genere lo si fa perché, dovendola nominare spesso, conviene utilizzare un nome più breve e caratteristico. La sostituzione in matematica è esattamente la stessa cosa. Fatta questa sostituzione, otteniamo la relazione che ci permette di calcolare la magnitudine di una stella:
Ora che abbiamo questa formula possiamo fare la differenza tra la magnitudine della stella A e della stella B. Per avere la formula della magnitudine della stella B basta prendere la relazione sopra e sostituire alla lettera A la B. Fatto questo otteniamo:
Tutto chiaro? No?? Allora vediamo di spiegare un pochino... la prima riga è la trascrittura di una semplice differenza. Fin qui credo che ci siamo tutti... il passaggio dalla prima alla seconda invece è frutto della semplificazione, dove le costanti, di segno opposto, si annullano. Nel passaggio dalla seconda alla terza riga, il più complesso, ho usato una proprietà dei logaritmi per cui il logaritmo di un rapporto è uguale alla differenza dei logaritmi.
Semplificando la terza riga (ovvero annullando i termini il cui rapporto dà 1), ricaviamo la formula che permette di ricavare la differenza di magnitudine di due stelle (A e B) conoscendo la loro luminosità e distanza. Ed eccola... :)
Bella, no?
Per vedere cosa si può fare con questa formula facciamo alcuni esempi...
Esempio 1: al doppio della distanza
Ora supponiamo che la stella B sia al doppio della distanza della stella A: dB=2dA entrambe le stelle hanno la stessa luminosità, LA. La formula appena vista può quindi essere riscritta nella seguente maniera sostituendo la relazione dB=2dA. Poi, facendo alcune semplificazioni, si arriva ad ottenere il risultato
che ci dice che la stella B, quella al doppio della distanza di A, avrà una magnitudine apparente che differisce dalla magnitudine della stella A di circa -1.5.
Un esempio pratico: se la stella A avesse mA = 18.5, in questo caso la stella B avrebbe avuto una magnitudine apparente mA = 18.5 - (-1.5)= 20.0 circa.
Esempio 2: al doppio della luminosità
Ora facciamo un altro esempio. Supponiamo che la stella B sia luminosa il doppio della stella A: LB = 2LA ma stavolta entrambe le stelle si trovano alla stessa distanza, dA. Usando la formula che permette di ricavare la differenza tra le magnitudini di due stelle avremo il seguente risultato:
Questo ci dice che la stella B avrà una magnitudine più brillante di 0.75 della magnitudine di A.
Ovvero, se la stella A ha una magnitudine apparente di 20.0 la stella B avrà una magnitudine apparente = 20.0 - 0.75 = 19.25 circa.
Esempio 3: diverse ma uguali
Prendiamo le nostre due solite stelline A e B. Stavolta però la stella B si trova al doppio della distanza della stella A e ha una luminosità 4 volte superiore: ovvero LB=4LA e dB=2dA.
Eccoci arrivati a questo bel risultato: le due stelle hanno la stessa magnitudine apparente! L'unica cosa da sapere in questa relazione è che il Logaritmo in base 10 di 1 è 0. Questo esempio ci dice che ci sono opportune combinazioni di luminosità e distanza per cui due oggetti diversi (in luminosità) possono avere la stessa magnitudine apparente.
Ok, per oggi credo sia abbastanza... anche perché con tutte queste formule serve un pò di tempo per assimilare il concetto.
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Due passi nella matematica
Per capire come variano le magnitudini cambiando questi parametri serve un pò di matematica. Non abbiate paura. La matematica è il linguaggio della natura e come ogni nuova lingua va studiata ed esercitata quotidianamente per capirne tutte le sfaccettature. Una volta assimilata vedrete che la comprensione di alcuni fenomeni del nostro mondo appariranno più vicini, proprio come conoscendo una lingua si possono capire i giochi di parole, i doppi sensi, l'ironia, i modi di dire... :)
Quindi, cominciamo prendendo in considerazione due stelle che chiamiamo, con molta fantasia, A e B :)
Rispolveriamo, adesso, la formula che mette in relazione il flusso alla luminosità di una stella. Quella che abbiamo descritto proprio all'inizio di questo post. Tutte quelle parole in matematica si scrivono così:
Ricordiamo anche la definizione di magnitudine di una stella (in questo caso prendiamo in considerazione la stella A) che come abbiamo già detto deve essere legata a quella di una stella di riferimento. Inoltre facciamo un piccolo passo in più e sostituito la relazione del flusso, appena scritta sopra, nella formula della magnitudine. In questo modo otteniamo:
A questo punto, per semplificare definiamo una nuova costante:
e sostituiamo il valore nella formula della magnitudine. E' un pò come quando decidiamo di dare un soprannome ad una persone. In genere lo si fa perché, dovendola nominare spesso, conviene utilizzare un nome più breve e caratteristico. La sostituzione in matematica è esattamente la stessa cosa. Fatta questa sostituzione, otteniamo la relazione che ci permette di calcolare la magnitudine di una stella:
Ora che abbiamo questa formula possiamo fare la differenza tra la magnitudine della stella A e della stella B. Per avere la formula della magnitudine della stella B basta prendere la relazione sopra e sostituire alla lettera A la B. Fatto questo otteniamo:
Tutto chiaro? No?? Allora vediamo di spiegare un pochino... la prima riga è la trascrittura di una semplice differenza. Fin qui credo che ci siamo tutti... il passaggio dalla prima alla seconda invece è frutto della semplificazione, dove le costanti, di segno opposto, si annullano. Nel passaggio dalla seconda alla terza riga, il più complesso, ho usato una proprietà dei logaritmi per cui il logaritmo di un rapporto è uguale alla differenza dei logaritmi.Semplificando la terza riga (ovvero annullando i termini il cui rapporto dà 1), ricaviamo la formula che permette di ricavare la differenza di magnitudine di due stelle (A e B) conoscendo la loro luminosità e distanza. Ed eccola... :)
Bella, no?Per vedere cosa si può fare con questa formula facciamo alcuni esempi...
Esempio 1: al doppio della distanza
Ora supponiamo che la stella B sia al doppio della distanza della stella A: dB=2dA entrambe le stelle hanno la stessa luminosità, LA. La formula appena vista può quindi essere riscritta nella seguente maniera sostituendo la relazione dB=2dA. Poi, facendo alcune semplificazioni, si arriva ad ottenere il risultato
che ci dice che la stella B, quella al doppio della distanza di A, avrà una magnitudine apparente che differisce dalla magnitudine della stella A di circa -1.5.Un esempio pratico: se la stella A avesse mA = 18.5, in questo caso la stella B avrebbe avuto una magnitudine apparente mA = 18.5 - (-1.5)= 20.0 circa.
Esempio 2: al doppio della luminosità
Ora facciamo un altro esempio. Supponiamo che la stella B sia luminosa il doppio della stella A: LB = 2LA ma stavolta entrambe le stelle si trovano alla stessa distanza, dA. Usando la formula che permette di ricavare la differenza tra le magnitudini di due stelle avremo il seguente risultato:
Questo ci dice che la stella B avrà una magnitudine più brillante di 0.75 della magnitudine di A.Ovvero, se la stella A ha una magnitudine apparente di 20.0 la stella B avrà una magnitudine apparente = 20.0 - 0.75 = 19.25 circa.
Esempio 3: diverse ma uguali
Prendiamo le nostre due solite stelline A e B. Stavolta però la stella B si trova al doppio della distanza della stella A e ha una luminosità 4 volte superiore: ovvero LB=4LA e dB=2dA.
Eccoci arrivati a questo bel risultato: le due stelle hanno la stessa magnitudine apparente! L'unica cosa da sapere in questa relazione è che il Logaritmo in base 10 di 1 è 0. Questo esempio ci dice che ci sono opportune combinazioni di luminosità e distanza per cui due oggetti diversi (in luminosità) possono avere la stessa magnitudine apparente.Ok, per oggi credo sia abbastanza... anche perché con tutte queste formule serve un pò di tempo per assimilare il concetto.
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La ringrazio per questo dettagliato intervento, che personalmente ha chiarito molti dei dubbi che il solo manuale di liceo non bastava ad esplicare. Grazie.
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